Przyszły purpurat urodził się 13 grudnia 1923 w mieście Lithgow w południowo-wschodniej Australii). W dzieciństwie stracił matkę i wychowywał go ojciec. Po nauce w szkołach katolickich w swych stronach rodzinnych wstąpił do seminarium duchownego i 23 lipca 1949 przyjął w Sydney święcenia kapłańskie.

Przez kilka lat pracował duszpastersko w archidiecezji sydnejskiej, po czym w latach 1952-55 uzupełniał studia na uczelniach papieskich w Rzymie, uzyskując tam licencjaty z teologii i biblistyki. Po powrocie do kraju ponownie pracował duszpastersko w Sydney i wykładał w seminarium. W latach 1961-65 (z przerwami) znów kształcił się w Rzymie, zdobywając doktorat z teologii.

25 października 1973 Paweł VI mianował niespełna 50-letniego wówczas kapłana biskupem pomocniczym w Sydney (sakrę nowy biskup przyjął 19 stycznia następnego roku). 24 listopada 1978 Jan Paweł II przeniósł go na stanowisko metropolity Canberry i Goulburn, skąd w niespełna 5 lat później – 12 lutego 1983 abp Clancy powrócił w rodzinne strony, mianowany metropolitą Sydney. Na konsystorzu 28 czerwca 1988 Ojciec Święty włączył go w skład Kolegium Kardynalskiego.

Jako biskup i kardynał brał udział w wielu ważnych wydarzeniach Kościoła powszechnego i w swojej ojczyźnie, m.in. w kilku zgromadzeniach Synodu Biskupów, a w latach 1986-2000 stał na czele episkopatu Australii. Był specjalnym wysłannikiem (legatem) Jana Pawła II na kongres maryjny na Filipinach (2000) i na centralne obchody Światowego Dnia Chorego w Sydney w 2001. 26 marca tegoż roku ustąpił z urzędu metropolity Sydney.

Zmarł 3 sierpnia nad ranem w domu opieki prowadzonym przez małe siostry ubogich w Randwick, w którym spędził ostatnich 5 lat życia.

Obecnie Kolegium Kardynalskie liczy 211 członków, w tym 118 mających prawa wyborcze, z których 38 mianował Jan Paweł II, 64 – Benedykt XVI i 16 – Franciszek. Wśród 93 kardynałów powyżej 80. roku życia 2 powołał Paweł VI, 72 – Jana Pawła II, 16 – jego następca i 3 – Franciszek.

Najstarszymi wiekowo kardynałami są Włosi: Loris Capovilla (ur. 14 X 1915), Fiorenzo Angelini (1 VIII 1916) i Giovanni Canestri (30 IX 1918), najmłodszymi zaś Hindus Baselios C. Thottunkal z Kościoła syromalankarskiego (15 VI 1959), Haitańczyk Chibly Langlois (29 XI 1958) i Kanadyjczyk Gérald Cyprien Lacroix (27 VII 1957). Najdłuższy staż w Kolegium Kardynalskim ma Brazylijczyk Paulo Evaristo Arns OFM (14 IX 1921), mianowany kardynałem 5 III 1973. Ponadto należy pamiętać, że Benedykta XVI mianował kardynałem Paweł VI dnia 27 VI 1977 a Franciszka – św. Jan Paweł II w dniu 21 II 2001.