Antoni Jacek Zimniak urodził się 3 stycznia 1878 r. we wsi Niekłań Mały w par. Niekłań Wielki niedaleko Końskich. Rodzicami jego byli Jacek i Józefa z Widulińskich. Do szkoły elementarnej uczęszczał w rodzinnej miejscowości, a potem do seminarium nauczycielskiego w Solcu. Z seminarium nauczycielskiego przeniósł się do męskiego progimnazjum w Pińczowie, które ukończył w 1899 r. Przez jeden rok pracował jako nauczyciel w szkole w Kozłowie w pow. Radom. W 1900 r. wstąpił do Seminarium Duchownego w Kielcach. Niższe i wyższe święcenia otrzymał z rąk biskupa kieleckiego Tomasza Teofila Kulińskiego - święcenia kapłańskie w dniu 24 września 1905 r.

Po święceniach kapłańskich pracował jako wikariusz w Stopnicy, a następną w Grodźcu od dnia 10 sierpnia 1907 r. już za rządów diecezją kielecką administratora ks. Franciszka Brudzyńskiego. W dniu 22 sierpnia 1908 r. przez władzę diecezjalną został przeniesiony do parafii Gołonóg, z tym, że miał zamieszkać w Strzemieszycach. Kielecki Konsystorz Generalny polecił mu wówczas prowadzenie nauczania religii w tamtejszych szkołach elementarnych i średnich. Po roku pracy dnia 11 września 1909 r. został przeniesiony na stanowisko kapelana szpitalnego w Dąbrowie Górniczej z równoczesnym obowiązkiem nauczania w miejscowych szkołach. Nominację na nauczyciela religii z Łódzkiej Dyrekcji Szkolnej otrzymał w dniu 7 grudnia 1909 r. Po trzech latach pracy w Dąbrowie Górniczej biskup kielecki Augustyn Łosiński mianował go wikariuszem w parafii Włodowice pismem z dnia l marca 1912 r. Po krótkim okresie pracy w tej placówce duszpasterskiej został przeniesiony na kapelana przy kopalni „Saturn" w Czeladzi, gdzie również miał spełniać funkcję prefekta w tamtejszej szkole. Nieco wcześniej, bo w dniu 10 lipca 1913 r. otrzymał nominację na administratora parafii Potok w pow. stopnickim, ale prawdopodobnie nie otrzymał wówczas aprobaty władz carskich.

W dniu 4 maja 1918 r. ks. Zimniak został mianowany proboszczem parafii Stradów, a w dniu 21 marca 1919 r. został przeniesiony do parafii Sędziszów. W Sędziszowie dekretem z dnia 5 maja 1919 r. został mianowany dziekanem miejscowego dekanatu Krzcięcice. W uznaniu dotychczasowych zasług bp Augustyn Losiński wyjednał mu w Rzymie godność szambelana papieskiego w dniu 9 października 1923 r. Następnie został proboszczem w parafii Będzin, a zarazem dziekana dekanatu będzińskiego. Był spowiednikiem sióstr pasjonistek w Grodźcu od 12 lutego 1925 r. oraz od 4 września 1925 r. opiekunem Związku Młodzieży Tercjarskiej Wzajemnej Pomocy w dekanacie będzińskim.

Na mocy bulli papieża Piusa XI Vixdum Poloniae unitas, powołującej diecezję częstochowską, całe Zagłębie Dąbrowskie znalazło się w jej granicach. Od początku pracy pasterskiej bp. Teodora Kubiny należał do jego najbliższych współpracowników. Pełnił obowiązki sędziego Sądu Biskupiego, konsultora diecezjalnego oraz członka diecezjalnej komisji czuwającej nad czystością wiary i głoszonej nauki. Jako wikariusz generalny od 1 sierpnia 1929 r. kierował diecezją podczas wyjazdów bp. Kubiny. W tym czasie wydatnie przyczynił się do organizowania w diecezji Akcji Katolickiej, a po powstaniu został jej asystentem kościelnym. W Akcji Katolickiej widział skuteczne narzędzie do odrodzenia polskiego społeczeństwa.

Papież Pius XI na prośbę bpa Kubiny obdarzył go w dniu 19 listopada 1931 r. godnością prałata domowego Jego Świątobliwości. Po kilku latach pracy bullą z dnia 6 lipca 1936 r. został mianowany pierwszym biskupem pomocniczym w diecezji częstochowskiej, tytularnym biskupem Dionysiany. Konsekracja odbyła się dnia 18 października 1936 r. w katedrze częstochowskiej. Konsekratorem był bp Teodor Kubina, a współkonsekratorami bp polowy Józef Gawlina i bp pomocniczy z Kielc Franciszek Sonik. Uroczystości konsekracyjne odbyły się przy licznym udziale duchowieństwa diecezjalnego i zakonnego, przedstawicieli miasta, wojskowej kompanii honorowej i licznie zgromadzonych wiernych z całej diecezji, a zwłaszcza z Zagłębia Dąbrowskiego. Jako biskup Antoni Jacek Zimniak brał również czynny udział w pracach Akcji Katolickiej w diecezji, a jego przemówienie na zakończenie Tygodnia Społecznego w Sosnowcu świadczyło o jego znajomości zagadnienia. W tym przemówieniu wygłoszonym dnia 21 kwietnia 1937 r. m. in. zwracał uwagę na wielkie niebezpieczeństwo, jakie groziło światu ze strony bezbożnego hitleryzmu.

Opublikował ponad 40 artykułów na łamach Tygodnika Katolickiego „ Niedziela”, Gońca Częstochowskiego i Czynu Katolickiego. Po bp. Zimniaku zachowały się również rękopisy jego 187 kazań. Zachował się także w maszynopisie zbiór kazań o Sercu Pana Jezusa, który świadczy o jego głębokiej pobożności. Wszystkie zostały wygłoszone w latach 1930-41, w większości w Częstochowie.

W trudnych warunkach okupacyjnych został mianowany proboszczem parafii św. Barbary w Częstochowie w dniu 14 września 1942 r. Zmarł 26 stycznia 1943 r. Pochowany został na cmentarzu św. Rocha w Częstochowie.